anatolykopyl/term-paper-tes
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/anatolykopyl/term-paper-tes.git synced 2026-03-26 12:54:38 +00:00
Code Issues Projects Releases Wiki Activity

Привел в порядок графики

Browse Source
This commit is contained in:
Anatoly Kopyl
2021-05-08 20:35:33 +03:00
parent 8f3506b17e
commit 542c715289
2 changed files with 225 additions and 76 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

301
term_paper.tex
View File

@@ -61,6 +61,10 @@
\scriptsize{\begin{array}[b]{@{}c@{}}#1\\#2\end{array}}
}
\newcommand{\graxisX}{
\draw[ultra thin, gray] (axis cs:\pgfkeysvalueof{/pgfplots/xmin},0) -- (axis cs:\pgfkeysvalueof{/pgfplots/xmax},0)
}
\author{Анатолий Копыл}
\title{Расчёт основных характеристик цифровой системы связи с использованием квадратурной модуляции}
@@ -203,14 +207,20 @@ $a_{макс}$.
$w(а)$ мгновенных значений сообщения, функции распределения $F(a)$ и
построить их графики (рис. \ref{fig:prob_plots}).
\[ w(a)=\frac{1}{a_{макс}-a_{мин}}=\frac1\Delta=\frac{1}{25,6+25,6}=0,02 \]
\[ F(a)=\int^a_{-\infty}w(a)da=
\int^a_{a_{мин}}\frac{1}{\Delta}da=
\begin{cases}
1, & a > a_{макс}\\
\frac{a-a_{мин}}{\Delta}, & a_{мин} \leq a \leq a_{макс}\\
0, & a < a_{мин}
\end{cases}\]
\begin{equation}
w(a)=\frac{1}{a_{макс}-a_{мин}}=\frac1\Delta=\frac{1}{25,6+25,6}=0,02
\end{equation}
\begin{equation}
F(a)=\int^a_{-\infty}w(a)da=
\int^a_{a_{мин}}\frac{1}{\Delta}da=
\begin{cases}
1, & a > a_{макс}\\
\frac{a-a_{мин}}{\Delta}, & a_{мин} \leq a \leq a_{макс}\\
0, & a < a_{мин}
\end{cases}
\end{equation}
где $\Delta = a_{макс}-a_{мин}=51,2\, В$.
% Графики
@@ -281,27 +291,36 @@ $a_{макс}$.
\end{figure}
\item Рассчитать математическое ожидание $\overline{A(t)}$ и
дисперсию $D\{A(t)\}$ сообщения $A(t)$.
\[ \overline{A(t)}=\int^\infty_{-\infty}a\cdot w(a)da=
\int^{a_{макс}}_{a_{мин}}a \frac{1}{a_{макс}-a_{мин}} da=
\frac{a^2}{2\Delta} \Biggr|^{a_{макс}}_{a_{мин}}\! =
\frac{a_{макс}^2-a_{мин}^2}{2\Delta}=0 \]
\begin{equation}
\overline{A(t)}=\int^\infty_{-\infty}a\cdot w(a)da=
\int^{a_{макс}}_{a_{мин}}a \frac{1}{a_{макс}-a_{мин}} da=
\frac{a^2}{2\Delta} \Biggr|^{a_{макс}}_{a_{мин}}\! =
\frac{a_{макс}^2-a_{мин}^2}{2\Delta}=0
\end{equation}
\begin{align*}\begin{split}
\begin{align}\begin{split}
D\{A(t)\}&=\int^\infty_{-\infty}(a-\overline{A(t)})^2 w(a)da=
\int^{a_{макс}}_{a_{мин}}a^2w(a)da\\
&=\frac{a^3}{3\Delta}\Biggr|^{a_{макс}}_{a_{мин}}\!
=\frac{a_\text{min}^2+a_\text{max}a_\text{min}+a_\text{max}^2}{3}
=218,5
\end{split}\end{align*}
\end{split}\end{align}
\item Написать аналитическое выражение для спектральной плотности
мощности $G_A(f)$ сообщения $A(t)$ и построить график
(рис. \ref{fig:spectr_plot}).
\[ G_A(f)=\frac{D\{A(t)\}}{2f_В}=\frac{218,5}{2\cdot1,41\cdot 10^4}
=7,7 \,мВ^2/Гц \]
\[ G_A(f)=\begin{cases}
7,7 \,мВ^2/Гц, & |f| \leq f_B\\
0, & |f| > f_B
\end{cases} \]
\begin{equation}
G_A(f)=\frac{D\{A(t)\}}{2f_В}=\frac{218,5}{2\cdot1,41\cdot 10^4}
=7,7 \,мВ^2/Гц
\end{equation}
\begin{equation}
G_A(f)=\begin{cases}
7,7 \,мВ^2/Гц, & |f| \leq f_B\\
0, & |f| > f_B
\end{cases}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
@@ -344,12 +363,13 @@ $a_{макс}$.
является ли сообщение $A(t)$ эргодическим случайным процессом
или не является таковым.
\begin{align*}\begin{split}
\begin{align}\begin{split}
B_A(\tau)&=\int^\infty_{-\infty}\frac{G_A(f)}{2}e^{j2\pi f\tau}df
=\int^{f_B}_{-f_B}\frac{G_A}{2}\cos{2\pi f\tau}df\\
&=\frac{G_A}2 \frac{\sin{2\pi f \tau}}{2\pi \tau}\Biggr|^{f_B}_{-f_B}
=G_A\frac{\sin{2\pi f_B \tau}}{2\pi\tau}
\end{split}\end{align*}
\end{split}\end{align}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
@@ -358,10 +378,16 @@ $a_{макс}$.
\pgfmathsetmacro{\Ga}{0.0077}
\begin{axis}[
width=10cm,height=6cm,
axis lines = left,
axis lines = middle,
ylabel = {$B_A(\tau)$},
xlabel = {$\tau$},
scaled x ticks = false,
xtick = {0.00205, 0.0041},
xticklabels = {$\frac{1}{2f_B}$, $\frac{2}{2f_B}$},
ytick = {0},
yticklabels = {0},
]
\graxisX;
\addplot [
color=blue,
samples=100,
@@ -393,8 +419,11 @@ $a(t)$ сообщения $A(t)$ по времени. В моменты врем
мгновенных значений реализации $a(t)$. Расстояние
между отсчетами равно интервалу $\Delta t$, величина которого
определяется в соответствии с теоремой Котельникова:
\[\Delta t \leq \frac{1}{2f_B};\,
f_d=\frac{1}{\Delta t}\geq2f_B\]
\begin{equation}
\Delta t \leq \frac{1}{2f_B};\,
f_d=\frac{1}{\Delta t}\geq2f_B
\end{equation}
где $f_d$ -- частота дискретизации.
На втором этапе выполняется квантование точных отсчетов
@@ -425,25 +454,52 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
\item Рассчитать интервал дискретизации $\Delta t$ для
получения непрерывных отсчетов $a(t_i)$ реализации
$a(t),\, t_i=i\cdot\Delta t,\, i=0,\pm1,\pm2,...$.
\[ \Delta t \leq \frac{1}{2f_B}=\frac1 {2\cdot 14100} = 3,546\cdot 10^{-5}\, с \]
\begin{equation}
\Delta t \leq \frac{1}{2f_B}=\frac1 {2\cdot 14100} = 3,546\cdot 10^{-5}\, с
\end{equation}
\item Рассчитать частоту дискретизации $f_d$.
\[ f_d=\frac{1}{\Delta t}\geq 2f_B=\frac{1}{3,546\cdot 10^{-5}}=28200 \]
\begin{equation}
f_d=\frac{1}{\Delta t}\geq 2f_B=\frac{1}{3,546\cdot 10^{-5}}=28200
\end{equation}
\item Определить число уровней квантования $L$.
\[ k=9;\, L=2^9 = 512 \]
\begin{equation}
k=9;\, L=2^9 = 512
\end{equation}
\item Рассчитать мощность шума квантования $P_{ШК}$
и сравнить ее с мощностью непрерывного сообщения $A(t)$.
\[ P_{ШК}=\Delta a^2/12
=\frac{0,1^2}{12}=8,33\cdot10^{-4}\, В^2 \]
\[ P_{A(t)}=A^2(t)=1\, В^2\]
\[ P_{A(t)} >> P_{ШК} \]
\begin{equation}
P_{ШК}=\Delta a^2/12
=\frac{0,1^2}{12}=8,33\cdot10^{-4}\, В^2
\end{equation}
\begin{equation}
P_{A(t)}=A^2(t)=1\, В^2
\end{equation}
\begin{equation}
P_{A(t)} >> P_{ШК}
\end{equation}
\item Найти минимальное число $k$ двоичных разрядов,
требуемое для записи в двоичной форме любого номера $j$
из $L-1$ номеров уровней квантования.
\[ L-1=511_{10}=111111111_2 \]
\[ k_{люб}=9 \]
\begin{equation}
L-1=511_{10}=111111111_2
\end{equation}
\begin{equation}
k_{люб}=9
\end{equation}
\item Записать $k$-разрядное двоичное число,
соответствующее заданному уровню квантования $j$.
\[ j=377_{10}=101111001_2 \]
\begin{equation}
j=377_{10}=101111001_2
\end{equation}
\item Начертить временную диаграмму отклика АЦП
$b_{АЦП}(t)$ на заданный уровень квантования $j$
в виде последовательности импульсов,
@@ -494,9 +550,11 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
\end{itemize}
\item Структурная схема кодера.
\begin{center}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{coder2}
\end{center}
\caption{Структурная схема кодера}
\end{figure}
\item Решетчатая диаграмма кодера.
\input{coder_empty}
@@ -515,7 +573,10 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\[ \overline u = 11 10 00 01 10 10 01 11 11 01 11 00 00 \]
\begin{equation}
\overline u = 11 10 00 01 10 10 01 11 11 01 11 00 00
\end{equation}
\item На решетчатой диаграмме кодера отметить путь,
соответствующий полученным КС.
@@ -584,12 +645,18 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
\caption{График реализации $c(t)$ с выхода сверточного кодера}
\end{figure}
\[ C(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}C_n\cdot g_1(t-nT_B) \]
\begin{equation}
C(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}C_n\cdot g_1(t-nT_B)
\end{equation}
где $g_1(t)$ -- прямоугольный импульс длительностью $T_B$.
\[ g_1(t)=\begin{cases}
1\,В, & 0\leq t \leq T_B;\\
0\,В, & t<0,\,t>T_B,
\end{cases} \]
\begin{equation}
g_1(t)=\begin{cases}
1\,В, & 0\leq t \leq T_B;\\
0\,В, & t<0,\,t>T_B,
\end{cases}
\end{equation}
где $g_1(t-nT_B)$ -- прямоугольный импульс такой же формы,
как и $g_1(t)$, но сдвинутый вправо относительно импульса
$g_1(t)$ на величину $nT_B$, если $n>0$, или
@@ -599,7 +666,9 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
случайной величины $C_n$ на $n$-интервале $T_B$.
Величина $C_n$ принимает два дискретных значения $h(B)$ и
$-h(B)$ с вероятностью $0,5$ каждое, \mbox{т. е.}
\[ P(h)=P(-h)=0,5. \]
\begin{equation}
P(h)=P(-h)=0,5.
\end{equation}
Если в заданной реализации $c(t)$ на $n$-интервале передается
информационный символ «1», то $c_n=h(B)$,
@@ -611,16 +680,19 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
Написать аналитические выражения для случайных процессов
$I(t)$ и $Q(t)$.
\begin{equation} \label{eq:ItQt}
I(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_n\cdot g_2(t-nT_S);\,
Q(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_n\cdot g_2(t-nT_S),
I(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_n\cdot g_2(t-nT_S);\,
Q(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_n\cdot g_2(t-nT_S),
\end{equation}
где $g_(t)$ -- прямоугольный импульс длительностью
$T_S=4T_B$. $T_S$ -- символьный интервал;
$T_B$ -- бинарный интервал;
\[ g_2(t)=\begin{cases}
1\,В, & 0\leq t \leq T_B;\\
0\,В, & t<0,\,t>T_B,
\end{cases} \]
\begin{equation}
g_2(t)=\begin{cases}
1\,В, & 0\leq t \leq T_B;\\
0\,В, & t<0,\,t>T_B,
\end{cases}
\end{equation}
где $g_2(t-nT_S)$ -- прямоугольный импульс такой же формы,
как и $g_2(t)$, но сдвинутый вправо относительно импульса
$g_2(t)$ на величину $nT_S$, если $n>0$, или
@@ -631,7 +703,10 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
которые согласно сигнальному созвездию (рис. \ref{fig:cam_16})
принимают четыре дискретных значения
$-3h,\, -h,\, h,\, 3h$ с вероятностью 0,25 каждое, т. е.
\[ P(-3h)=P(-h)=P(h)=P(3h)=0,25. \]
\begin{equation}
P(-3h)=P(-h)=P(h)=P(3h)=0,25.
\end{equation}
\begin{figure}[H]
\centering
@@ -679,15 +754,21 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
и построить графики этих функций.
Процесс $C(t)$ является случайным синхронным телеграфным сигналом. Его корреляционная функция имеет вид:
\[ B_C(\tau)=\begin{cases}
h^2(1-\frac{|\tau|}{T}),&|\tau|\leq T\\
0, & |\tau| > T
\end{cases}, \]
\begin{equation}
B_C(\tau)=\begin{cases}
h^2(1-\frac{|\tau|}{T}),&|\tau|\leq T\\
0, & |\tau| > T
\end{cases},
\end{equation}
а спектральная плотность мощности
\[ G_C(\omega)
=\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau
=\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)\cos{\omega\tau}d\tau
=T\cdot h^2\cdot\frac{\sin^2(\frac{\omega T}{2})}{(\frac{\omega T}{2})^2}, \]
\begin{equation}
G_C(\omega)
=\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau
=\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)\cos{\omega\tau}d\tau
=T\cdot h^2\cdot\frac{\sin^2(\frac{\omega T}{2})}{(\frac{\omega T}{2})^2},
\end{equation}
где $T=T_B$ -- длительность тактового интервала.
\begin{figure}[H]
\centering
@@ -699,10 +780,15 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
axis lines = left,
ylabel = {$B_C(\tau)$},
xlabel = {$\tau$},
xtick={0},
xticklabels={$0$},
domain=-1.8:1.8,
ytick={0,0.98},
yticklabels={0,0.25},
]
\addplot [
color=blue,
samples=100,
samples=5,
]
{\h^2*(1-abs(x)/\T)};
\end{axis}
@@ -717,9 +803,14 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
\pgfmathsetmacro{\h}{1}
\begin{axis}[
width=10cm,height=6cm,
axis lines = left,
axis lines = middle,
ylabel = {$G_C(\omega)$},
xlabel = {$\omega$},
scaled y ticks = false,
ytick = {},
yticklabels = {},
xtick = {200, 400, -200, -400},
xticklabels = {$\frac{1}{T_B}$, $\frac{2}{T_B}$, $-\frac{1}{T_B}$, $-\frac{2}{T_B}$},
]
\addplot [
color=blue,
@@ -743,22 +834,34 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
мощности, поскольку они оба отличаются от процесса
$C(t)$ лишь длительностью сигнального интервала
$T_S=4T_B$.
\[ B_I(0)=B_Q(0)=D\{I(t)\}=D\{Q(t)\} \]
\[ G_I(0)=G_Q(0)=\frac{D\{I(t)\}}{T_S}=\frac{D\{Q(t)\}}{T_S} \]
\begin{align*}\begin{split}
\begin{equation}
B_I(0)=B_Q(0)=D\{I(t)\}=D\{Q(t)\}
\end{equation}
\begin{equation}
G_I(0)=G_Q(0)=\frac{D\{I(t)\}}{T_S}=\frac{D\{Q(t)\}}{T_S}
\end{equation}
\begin{align}\begin{split}
D\{I(t)\}=D\{Q(t)\}&
=\sum^4_{n=1}(i_n-\overline{I_n(t)})^2\cdot P(i_n)\\
&=0,25(-3h)^2+0,25(-h)^2+0,25h^2+0,25(3h)^2=5h^2
\end{split}\end{align*}
\end{split}\end{align}
Корреляционные функции:
\[ B_I(\tau)=B_Q(\tau)=\begin{cases}
5h^2(1-\frac{|\tau|}{T_B}), & |\tau|\leq T_B\\
0, & |\tau| > T_B
\end{cases} \]
\begin{equation}
B_I(\tau)=B_Q(\tau)=\begin{cases}
5h^2(1-\frac{|\tau|}{T_B}), & |\tau|\leq T_B\\
0, & |\tau| > T_B
\end{cases}
\end{equation}
Энергетический спектр:
\[ G_I(\omega)=G_Q(\omega)
=\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau
=T\cdot h^2\cdot\frac{\sin^2(\frac{\omega T}{2})}{(\frac{\omega T}{2})^2} \]
\begin{equation}
G_I(\omega)=G_Q(\omega)
=\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau
=T\cdot h^2\cdot\frac{\sin^2(\frac{\omega T}{2})}{(\frac{\omega T}{2})^2}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
@@ -769,10 +872,15 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
axis lines = left,
ylabel = {$B(\tau)$},
xlabel = {$\tau$},
xtick={0},
xticklabels={$0$},
domain=-1.8:1.8,
ytick={0,0.98},
yticklabels={0,0.25},
]
\addplot [
color=red,
samples=100,
samples=5,
]
{5*\h^2*(1-abs(x)/\T)};
\end{axis}
@@ -791,6 +899,11 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
axis lines = left,
ylabel = {$G(\omega)$},
xlabel = {$\omega$},
scaled y ticks = false,
ytick = {},
yticklabels = {},
xtick = {50, 150, -50, -150},
xticklabels = {$\frac{1}{T_S}$, $\frac{3}{T_S}$, $-\frac{1}{T_S}$, $-\frac{3}{T_S}$},
]
\addplot [
color=red,
@@ -822,6 +935,10 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
axis lines = left,
ylabel = {$B(\tau)$},
xlabel = {$\tau$},
xtick={0},
xticklabels={$0$},
ytick={},
yticklabels={},
]
\addplot [
color=blue,
@@ -853,6 +970,11 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
axis lines = left,
ylabel = {$G(\omega)$},
xlabel = {$\omega$},
scaled y ticks = false,
ytick = {},
yticklabels = {},
xtick = {},
xticklabels = {},
]
\addplot [
color=blue,
@@ -954,7 +1076,11 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
axis lines = left,
ylabel = {$S(\omega)$},
xlabel = {$\omega$},
domain=-32:32,
domain = -32:32,
xtick = {0, 32, -32},
xticklabels = {0, $\frac{2\pi}{T}$, $-\frac{2\pi}{T}$},
ytick = {1.79, 1.35},
yticklabels = {$T$, $\sqrt T$},
]
\addplot [
color=blue,
@@ -968,6 +1094,8 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
]
{sqrt(\T/2*(1+cos(\PI*\T*abs(x))))};
\addlegendentry{$S_{x1}(\omega)$};
\draw [dashed] (axis cs: \pgfkeysvalueof{/pgfplots/xmin},1.35) -- (axis cs: 0,1.35);
\draw [dashed] (axis cs: \pgfkeysvalueof{/pgfplots/xmin},1.79) -- (axis cs: 0,1.79);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Графики спектральных плотностей
@@ -989,6 +1117,10 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
ylabel = {$x(t)$},
xlabel = {$t$},
domain = -2:2,
xtick = {0, 1, -1},
xticklabels = {0, T, -T},
ytick = {0, 1, 1.6},
yticklabels = {0, 1, $\frac{1.27}{\sqrt T}$}
]
\addplot [no markers] gnuplot [
color=blue,
@@ -1002,20 +1134,29 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
]
{sin(\PI*x*1.27/\T)/\PI/x*1.27*\T*cos(\PI*x*1.27/\T)/(1-4*(x*1.27)^2/\T^2)};
\addlegendentry{$x_1(t)$};
\draw [dashed] (axis cs: \pgfkeysvalueof{/pgfplots/xmin},1) -- (axis cs: 0,1);
\draw [dashed] (axis cs: \pgfkeysvalueof{/pgfplots/xmin},1.6) -- (axis cs: 0,1.6);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Импульс Найквиста $x(t)$ и искомый импульс $x_1(t)$}
\end{figure}
\item Написать аналитические выражения для случайных процессов
$I_ф(t)$ и $Q_ф(t)$.
\[ I_ф(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_ng_3(t-nT), \]
\begin{equation}
I_ф(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_ng_3(t-nT),
\end{equation}
где $i_n$ -- детерминированная величина, которая является
реализацией случайной величины $I_n$.
Величины $i_n$ в выражениях для $i(t)$ и $i_ф(t)$
принимают одинаковые значения на соответствующих символьных
интервалах $T$.
\[ Q_ф(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_ng_3(t-nT), \]
\begin{equation}
Q_ф(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_ng_3(t-nT),
\end{equation}
где $I_n(t)$ и $Q_n(t)$ -- независимые случайные величины,
принимающие известные дискретные значения с заданными
вероятностями, какие они имеют в формулах (\ref{eq:ItQt});
@@ -1055,6 +1196,10 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
ylabel = {$B(\tau)$},
xlabel = {$\tau$},
domain = -2:2,
xtick = {0, 1, -1, 2, -2},
xticklabels = {0, $T$, $-T$, $2T$, $-2T$},
ytick = {0, 0.98},
yticklabels = {0, $\frac{\overline{I^2_n}}{1.27^2}$},
]
\addplot [no markers] gnuplot [
color=blue,
@@ -1086,6 +1231,10 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
ylabel = {$S(\omega)$},
xlabel = {$\omega$},
domain=-32:32,
xtick = {0, 32, -32},
xticklabels = {0, $\frac{2\pi}{T}$, $-\frac{2\pi}{T}$},
ytick = {1.79},
yticklabels = {$\frac{\overline{I^2_n}\cdot T}{1.27^2}$},
]
\addplot [
color=blue,