\documentclass[a4paper, 12pt]{article}

\usepackage{mathtext}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{scrextend}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes.misc}
\usepackage{pdflscape}
\usepackage{float}
\usepackage{pgfplots}

\DeclareSymbolFont{T2Aletters}{T2A}{cmr}{m}{it}
\graphicspath{ {./images/} }
\pgfplotsset{width=10cm,compat=1.9}

% Установки для отрисовки решеток кодера
\tikzstyle{lightedge}=[dashed]
\tikzstyle{mainedge}=[solid]
\tikzstyle{activeedge}=[green, very thick]
\tikzstyle{inputBit}=[rectangle,fill=red, text=white]
\tikzstyle{outputBit}=[rectangle,fill=blue, text=white]
\tikzstyle{pointer}=[orange,->,dashed]
\tikzstyle{highlight}=[circle,fill=blue,text=white,scale=0.7]

\newcounter{ctra}
\newcommand{\trellisEdges}[2]{
  \setcounter{ctra}{#2}
  \pgfmathtruncatemacro{\xplusone}{#1 + 1}
  \ifodd\value{ctra}
      \draw[mainedge] (s#1#2) -- (s\xplusone2);
  \else
      \draw[mainedge] (s#1#2) -- (s\xplusone0);
  \fi
  \ifodd\value{ctra}
      \draw[lightedge] (s#1#2) -- (s\xplusone3);
  \else
      \draw[lightedge] (s#1#2) -- (s\xplusone1);
  \fi
}

% #1=x; #2=y; #3=In; #4=Out
\newcommand{\trellisInOut}[4]{
  \node[inputBit] (in#1) at (#1+0.5,4) {#3};
  \node[outputBit] (out#1) at (#1+0.5,5) {#4};
  \draw[pointer] (in#1) -- (#1+0.5,#2);
}

% #1=x; #2=y; #3=In
\newcommand{\trellisIn}[2]{
  \node[outputBit] (in#1) at (#1+0.5,4) {#2};
}


\author{Анатолий Копыл}
\title{Расчёт основных характеристик цифровой системы связи с использованием квадратурной модуляции}

\begin{document}

% НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
\makeatletter
\begin{titlepage}
  \begin{center}
    \hfill \break
    \footnotesize{ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ}\\ 
    \footnotesize{ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ}\\
    \small{\textbf{«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича»}}\\
    \hfill \break
    \normalsize{Факультет инфокоммуникационных сетей и систем}\\
    \hfill \break
    \normalsize{Кафедра теоретических основ связи и радиотехники}\\
    \hfill\break
    \hfill \break
    \hfill \break
    \hfill \break
    \large{ \@title }\\
    \hfill \break
    \hfill \break
    \normalsize{Учебная дисциплина <<Теория электрической связи>>}\\
    \hfill \break
    \hfill \break
    \hfill \break
    \normalsize{Курсовая работа}\\
    \hfill \break
    \hfill \break
  \end{center}
    
  \hfill \break
  \hfill \break
  
  \normalsize{
    \hfill\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-6cm}
      Студент группы ИКТО-91 Копыл А. В.\\
      зачетная книжка № 1905141\\\\
      Руководитель \underline{\hspace{4cm}}
    \end{minipage}
  }\\
  \vfill
  \begin{center} Санкт-Петербург 2021 \end{center}
  \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
\end{titlepage}
\makeatother
% КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
  
\newpage

Цель курсовой работы -- изучить и разработать систему цифровой связи, 
оптимальную в отношении флуктуационной помехи и исключающую появления 
межсимвольной помехи.

\section{Структурная схема системы\\цифровой связи}

Система связи предназначена для передачи аналоговых сообщений
по цифровому каналу связи.
\begin{figure}[H]
  \includegraphics[scale=0.5]{struct_scheme}
  \caption{Структурная схема цифровой системы связи}
  \label{fig:struct_scheme}
\end{figure}

В систему входят следующие функциональные узлы с последующими назначениями:
\begin{enumerate}
  \item Источник сообщений -- создает реализации $a(t)$ случайного
  процесса $A(t)$.
  \item Аналого-цифровой преобразователь -- преобразует аналоговый
  сигнал от источника сообщения в последовательность 
  двоичных отсчетов $b(t)$.
  \item Кодер -- включает в цифровой поток от АЦП дополнительные
  символы, предназначенные для повышения помехоустойчивости системы
  связи;
  \item Формирователь модулирующих символов -- служит для получения
  модулирующих сигналов $I(t)$ и $Q(t)$, соответствующих заданному
  виду модуляции;
  \item Сглаживающие формирующие фильтры (СФФ1, СФФ2);
  \item Перемножители -- для получения БМ сигналов: синфазного 
  $I(t)\cos{\omega_Ct}$ и квадратурного $Q(t)\sin{\omega_Ct}$.
  \item Фазовращатель -- для получения второго несущего колебания, 
  ортогонального по отношению к первому;
  \item Генератор гармонических колебаний -- для получения несущего  
  колебания;
  \item Инвертор;
  \item Сумматор -- для объединения синфазного и квадратурного 
  сигналов в единый сигнал с квадратурной модуляцией 
  $S_{КАМ}(t) = I(t)\cos{\omega_Ct} + Q(t)\sin{\omega_Ct}$;
  \item Непрерывный канал -- среда распространения сигнала 
  $S_{КАМ}(t)$;
  \item Демодулятор -- для анализа приходящего сигнала, 
  искаженного помехами, и принятии решения о переданном сообщении; 
  \item Преобразователь параллельного кода в последовательный код --
  для преобразования сигнала с выхода демодулятора в 
  последовательный формат кодовых комбинаций;
  \item Декодер -- для исправления части ошибок, возникших при приёме 
  сообщения $\hat{b}(t)$ вследствие влияния помех; 
  \item Цифро-аналоговый преобразователь -- для восстановления  
  аналоговой формы сигнала $\hat{a}(t)$ из его цифрового представления;
  \item Получатель сообщений.
\end{enumerate}

\section{Исходные данные}
$m=41$
\begin{center}
  \begin{tabular}{ | p{5cm} | p{5cm} | p{5cm} | } 
    \hline
    Предельные уровни аналогового сигнала \(a_{мин}\), \(a_{макс}\) (В) & \(a_{макс}=25,6\) В;\newline\(a_{мин}=-25,6\) В & Внести свои данные \\
    \hline
    Верхняя частота спектра аналогового сигнала \(f_В\) & \(f_В =(1+m\cdot 10^{-2})\cdot 10^4\) & \(f_В =14100\) \\ 
    \hline
    Заданный уровень квантования & \(j=500-3\cdot m\) & 377 \\
    \hline
    Спектральная плотность мощности флуктуационной помехи & 41 & \(N_0=2,3\cdot 10^{-7}\, В^2/Гц\)\\
    \hline
    q -- номер тактового интервала ошибки & \(q=m\mod{3}+1\) & \(q=3\)\\
    \hline
    Вид модуляции & КАМ-16 & \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\section{Расчет составляющих системы цифровой связи}

\subsection{Источник сообщений}
Источник сообщения (ИС) вырабатывает реализации $a(t)$ стационарного
случайного процесса $A(t)$, типа квазибелого шума с параметрами 
$a_{мин}$, $a_{макс}$ и $f_В$. Мгновенные значения сообщения
равновероятны в интервале от значения $a_{мин}$ и до значения 
$a_{макс}$.

Требуется:
\begin{enumerate}
  \item Написать аналитические выражения для плотности вероятности 
  $w(а)$ мгновенных значений сообщения, функции распределения $F(a)$ и
  построить их графики (рис. \ref{fig:prob_plots}).

  \[ w(a)=\frac{1}{a_{макс}-a_{мин}}=\frac1\Delta=\frac{1}{25,6+25,6}=0,02 \]
  \[ F(a)=\int^a_{-\infty}w(a)da=
  \int^a_{a_{мин}}\frac{1}{\Delta}da=
  \begin{cases}
    1, & a > a_{макс}\\
    \frac{a-a_{мин}}{\Delta}, & a_{мин} \leq a \leq a_{макс}\\
    0, & a < a_{мин}
  \end{cases}\]
  где $\Delta = a_{макс}-a_{мин}=51,2\, В$.

  % Графики
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\amin}{-25.6}
      \pgfmathsetmacro{\amax}{25.6}
      \begin{axis}[
        width=6cm,height=4cm,
        axis lines = left,
        xlabel = $a$,
        ylabel = {$F(a)$},
        xmin=-40, xmax=40,
        ymin=0, ymax=1.25,
      ]
        \addplot [
          domain=-40:\amin, 
          color=red,
        ]
        {0};
        \addplot [
          domain=\amin:\amax,
          samples=2,
          color=red,
        ]
        {(x-\amin) / 51.2};
        \addplot [
          domain=\amax:40, 
          color=red,
        ]
        {1};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}%
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\amin}{-25.6}
      \pgfmathsetmacro{\amax}{25.6}
      \begin{axis}[
        width=6cm,height=4cm,
        axis lines = left,
        xlabel = $a$,
        ylabel = {$w(a)$},
        xmin=-40, xmax=40,
        ymin=0, ymax=0.03,
      ]
        \addplot [
          domain=-40:\amin, 
          color=blue,
        ]
        {0};
        \addplot [
          domain=\amin:\amax,
          samples=2,
          color=blue,
        ]
        {0.02};
        \addplot [
          domain=\amax:40, 
          color=blue,
        ]
        {0};
        \draw [dashed] (axis cs:\amin,0) -- (axis cs:\amin,0.02);
        \draw [dashed] (axis cs:\amax,0) -- (axis cs:\amax,0.02);
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Графики функции распределения и плотности вероятности}
    \label{fig:prob_plots}
  \end{figure}
  \item Рассчитать математическое ожидание $\overline{A(t)}$ и 
  дисперсию $D\{A(t)\}$ сообщения $A(t)$.
  \[ \overline{A(t)}=\int^\infty_{-\infty}a\cdot w(a)da=
  \int^{a_{макс}}_{a_{мин}}a \frac{1}{a_{макс}-a_{мин}} da=
  \frac{a^2}{2\Delta} \Biggr|^{a_{макс}}_{a_{мин}}\! =
  \frac{a_{макс}^2-a_{мин}^2}{2\Delta}=0 \]

  \begin{align*}\begin{split}
    D\{A(t)\}&=\int^\infty_{-\infty}(a-\overline{A(t)})^2 w(a)da=
    \int^{a_{макс}}_{a_{мин}}a^2w(a)da\\
    &=\frac{a^3}{3\Delta}\Biggr|^{a_{макс}}_{a_{мин}}\!
    =\frac{a_\text{min}^2+a_\text{max}a_\text{min}+a_\text{max}^2}{3}
    =218,5
  \end{split}\end{align*}
  \item Написать аналитическое выражение для спектральной плотности
  мощности $G_A(f)$ сообщения $A(t)$ и построить график 
  (рис. \ref{fig:spectr_plot}).
  \[ G_A(f)=\frac{D\{A(t)\}}{2f_В}=\frac{218,5}{2\cdot1,41\cdot 10^4}
  =7,7 \,мВ^2/Гц \]
  \[ G_A(f)=\begin{cases}
    7,7 \,мВ^2/Гц, & |f| \leq f_B\\
    0, & |f| > f_B
  \end{cases} \]
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\fv}{14100}
      \pgfmathsetmacro{\Gaf}{0.0077}
      \begin{axis}[
        width=6cm,height=4cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$G_A(f)$},
        xmin=-\fv*1.5, xmax=\fv*1.5,
        ymin=0, ymax=\Gaf*1.5,
      ]
        \addplot [
          domain=-\fv*1.5:-\fv, 
          color=blue,
        ]
        {0};
        \addplot [
          domain=-\fv:\fv,
          samples=2,
          color=blue,
        ]
        {\Gaf};
        \addplot [
          domain=\fv:\fv*1.5, 
          color=blue,
        ]
        {0};
        \draw [dashed] (axis cs:-\fv,0) -- (axis cs:-\fv,\Gaf);
        \draw [dashed] (axis cs:\fv,0) -- (axis cs:\fv,\Gaf);
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{График спектральной плотности мощности}
    \label{fig:spectr_plot}
  \end{figure}
  \item Найти аналитическое выражение для корреляционной функции
  $B_A(\tau)$ сообщения $A(t)$ и построить график 
  (рис. \ref{fig:coorel_plot}). 
  По форме графика $B_A(\tau)$ определить, 
  является ли сообщение $A(t)$ эргодическим случайным процессом 
  или не является таковым.

  \begin{align*}\begin{split}
    B_A(\tau)&=\int^\infty_{-\infty}\frac{G_A(f)}{2}e^{j2\pi f\tau}df
    =\int^{f_B}_{-f_B}\frac{G_A}{2}\cos{2\pi f\tau}df\\
    &=\frac{G_A}2 \frac{\sin{2\pi f \tau}}{2\pi \tau}\Biggr|^{f_B}_{-f_B} 
    =G_A\frac{\sin{2\pi f_B \tau}}{2\pi\tau}
  \end{split}\end{align*}
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\PI}{3.14159}
      \pgfmathsetmacro{\fv}{14100}
      \pgfmathsetmacro{\Ga}{0.0077}
      \begin{axis}[
        width=10cm,height=6cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$B_A(\tau)$},
        xlabel = {$\tau$},
      ]
        \addplot [
          color=blue,
          samples=100,
          domain=-0.01:0.01,
        ]
        {\Ga*(sin(2*\PI*\fv*x))/(2*\PI*x)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{График корреляционной функции $B_A(\tau)$}
    \label{fig:coorel_plot}
  \end{figure}
\end{enumerate}

\subsection{Аналого-цифровой преобразователь}
Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует реализации 
аналогового (непрерывного) сообщения $A(t)$ в цифровую 
форму, в поток двоичных символов: нулей и единиц, 
т. е. в последовательность прямоугольных импульсов, 
где «0» имеет нулевое напряжение, а «1» -- прямоугольный 
импульс положительной полярности. 
Амплитуда импульсов $U$ равна 1 В.

Преобразование аналогового сигнала в цифровую форму 
осуществляется в три этапа.

На первом этапе производится дискретизация реализации 
$a(t)$ сообщения $A(t)$ по времени. В моменты времени $t_i$ 
берутся непрерывные по уровню отсчеты $a(t_i)$ 
мгновенных значений реализации $a(t)$. Расстояние
между отсчетами равно интервалу $\Delta t$, величина которого
определяется в соответствии с теоремой Котельникова:
\[\Delta t \leq \frac{1}{2f_B};\, 
f_d=\frac{1}{\Delta t}\geq2f_B\]
где $f_d$ -- частота дискретизации.

На втором этапе выполняется квантование точных отсчетов 
$a(t_i)$ по уровню. Для этого интервал $\Delta$, равный 
разности $\Delta=a_{макс} - a_{мин}$, разбивается на уровни 
квантования с постоянным шагом $\Delta a =0,1\, В$. 
Уровни квантования нумеруются целыми числами 
$0,1,2,3,...,L-1$. Нумерация уровней начинается с уровня, 
которому соответствует значение $a_мин$, и заканчивается на 
уровне, которому соответствует значение $a_макс$. Обычно
величина шага квантования $\Delta a$ выбирается так, чтобы 
число уровней квантования $L$ можно было представить в виде 
$L=2^k$, где $k$ -- целое число. 

Каждый аналоговый отсчет $a(t_i)$ заменяется значением 
ближайшего к нему уровня квантования $j$ в виде целого числа, 
удовлетворяющего неравенству $0\leq j \leq L-1$. 
Получаем квантованный отсчет $j_{10}(t_i)$ в виде целого 
числа в десятичной форме счисления.

На третьем этапе число $j_{10}(t_i)$ в десятичной форме 
переводится в двоичную форму счисления $j_2(t_i)$ в виде 
последовательности $k$ двоичных
символов и на выходе АЦП появляется сигнал в виде двоичной цифровой последовательности из $k$ информационных символов.

Требуется:
\begin{enumerate}
  \item Рассчитать интервал дискретизации $\Delta t$ для 
  получения непрерывных отсчетов $a(t_i)$ реализации 
  $a(t),\, t_i=i\cdot\Delta t,\, i=0,\pm1,\pm2,...$.
  \[ \Delta t \leq \frac{1}{2f_B}=\frac1 {2\cdot 14100} = 3,546\cdot 10^{-5}\, с \]
  \item Рассчитать частоту дискретизации $f_d$.
  \[ f_d=\frac{1}{\Delta t}\geq 2f_B=\frac{1}{3,546\cdot 10^{-5}}=28200 \]
  \item Определить число уровней квантования $L$.
  \[ k=9;\, L=2^9 = 512 \]
  \item Рассчитать мощность шума квантования $P_{ШК}$
  и сравнить ее с мощностью непрерывного сообщения $A(t)$.
  \[ P_{ШК}=\Delta a^2/12
  =\frac{0,1^2}{12}=8,33\cdot10^{-4}\, В^2 \]
  \[ P_{A(t)}=A^2(t)=1\, В^2\]
  \[ P_{A(t)} >> P_{ШК} \]
  \item Найти минимальное число $k$ двоичных разрядов, 
  требуемое для записи в двоичной форме любого номера $j$ 
  из $L-1$ номеров уровней квантования.
  \[ L-1=511_{10}=111111111_2 \]
  \[ k_{люб}=9 \]
  \item Записать $k$-разрядное двоичное число, 
  соответствующее заданному уровню квантования $j$.
  \[ j=377_{10}=101111001_2 \]
  \item Начертить временную диаграмму отклика АЦП 
  $b_{АЦП}(t)$ на заданный уровень квантования $j$ 
  в виде последовательности импульсов, 
  сопоставляя единичным символам прямоугольные импульсы 
  положительной полярности, а нулевым -- нулевые напряжения. 
  Амплитуда импульсов $U$ равна $2h$ B. Над импульсами 
  надписать значения соответствующих двоичных информационных 
  символов (ДИС). Длительность отклика АЦП на каждый отсчет 
  не должна превышать интервала дискретизации $\Delta t$.
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \draw[->, very thick] (0,1) -- (9.2,1);
      \draw[->, very thick] (0,-0.2) -- (0,2.2);

      \draw (0,2) -- (1,2) -- (1,0);
      \draw (1,0) -- (2,0) -- (2,2);
      \draw (2,2) -- (6,2) -- (6,0);
      \draw (6,0) -- (8,0) -- (8,2);
      \draw (8,2) -- (9,2);

      \node at (0.5,2.5) {$1$};
      \node at (1.5,2.5) {$0$};
      \node at (2.5,2.5) {$1$};
      \node at (3.5,2.5) {$1$};
      \node at (4.5,2.5) {$1$};
      \node at (5.5,2.5) {$1$};
      \node at (6.5,2.5) {$0$};
      \node at (7.5,2.5) {$0$};
      \node at (8.5,2.5) {$1$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{Временная диаграмма отклика АЦП}
  \end{figure}
\end{enumerate}

\subsection{Кодер}
Используется помехоустойчивый сверточный код.

\begin{enumerate}
  \item Параметры сверточного кода.
  \begin{itemize}
    \item Степень кодирования $k/n=1/2$,
    \item длина кодового ограничения $K=3$,
    \item векторы связи $\overline g_1=111$ и 
    $\overline g_2=101$,
    \item импульсная характеристика $h(k)=111011000...$,
    \item кодовое расстояние $d=5$.
  \end{itemize}

  \item Структурная схема кодера.
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.8]{coder2}
  \end{center}

  \item Решетчатая диаграмма кодера.
  \input{coder_empty}

  \item По решетчатой диаграмме сверточного кодера определить
  последовательность кодовых символов (КС) $\overline u$ на выходе кодера 
  при условии, когда на вход кодера поступает 9-разрядная 
  двоичная последовательность информационных символов (ИС) 
  $\overline m$, соответствующая заданному уровню квантования $j$.
  \begin{center}
    \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| }
      \hline
      ИС &1&0&1&1&1&1&0&0&1&0&0&0&0\\
      \hline
      КС &11&10&00&01&10&10&01&11&11&01&11&00&00\\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  \[ \overline u = 11 10 00 01 10 10 01 11 11 01 11 00 00 \]

  \item На решетчатой диаграмме кодера отметить путь, 
  соответствующий полученным КС.
  \input{coder}
\end{enumerate}

\subsection{Формирователь модулирующих символов}
Формирователь модулирующих символов служит для получения
модулирующих сигналов $I(t)$ и $Q(t)$, соответствующих заданному
виду модуляции.

Требуется:
\begin{enumerate}
  \item Изобразить сигнальное созвездие для заданного вида модуляции.
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.6]{cam_16}
    \caption{Сигнальное созвездие для КАМ-16} 
    \label{fig:cam_16}
  \end{figure}

  \item Изобразить график реализации $c(t)$ случайного процесса
  $C(t)$, формируемого с выхода блока сверточного кодера (К). 
  Реализация $с(t)$ поступает на вход блока ФМС на первых 
  16 бинарных интервалах длительностью $T_B$. 
  Написать аналитическое выражение для 
  случайного процесса $C(t)$.
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[x=0.8cm, y=-1cm]
      \draw[->, very thick] (0,1) -- (16.2,1);
      \draw[->, very thick] (0,2.2) -- (0,-0.2);

      \draw (0,0) -- (3,0) -- (3,2);
      \draw (3,2) -- (7,2) -- (7,0);
      \draw (7,0) -- (9,0) -- (9,2);
      \draw (9,2) -- (10,2) -- (10,0);
      \draw (10,0) -- (11,0) -- (11,2);
      \draw (11,2) -- (13,2) -- (13,0);
      \draw (13,0) -- (16,0);

      \node at (0.5,-0.5) {$1$};
      \node at (1.5,-0.5) {$1$};

      \node at (2.5,-0.5) {$1$};
      \node at (3.5,-0.5) {$0$};

      \node at (4.5,-0.5) {$0$};
      \node at (5.5,-0.5) {$0$};

      \node at (6.5,-0.5) {$0$};
      \node at (7.5,-0.5) {$1$};

      \node at (8.5,-0.5) {$1$};
      \node at (9.5,-0.5) {$0$};

      \node at (10.5,-0.5) {$1$};
      \node at (11.5,-0.5) {$0$};

      \node at (12.5,-0.5) {$0$};
      \node at (13.5,-0.5) {$1$};

      \node at (14.5,-0.5) {$1$};
      \node at (15.5,-0.5) {$1$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{График реализации $c(t)$ с выхода сверточного кодера}
  \end{figure}

  \[ C(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}C_n\cdot g_1(t-nT_B) \]
  где $g_1(t)$ -- прямоугольный импульс длительностью $T_B$.
  \[ g_1(t)=\begin{cases}
    1\,В, & 0\leq t \leq T_B;\\
    0\,В, & t<0,\,t>T_B,
  \end{cases} \]
  где $g_1(t-nT_B)$ -- прямоугольный импульс такой же формы, 
  как и $g_1(t)$, но сдвинутый вправо относительно импульса 
  $g_1(t)$ на величину $nT_B$, если $n>0$, или 
  влево, если $n<0$; 
  
  $C_n$ -- численный коэффициент, являющийся реализацией 
  случайной величины $C_n$ на $n$-интервале $T_B$.
  Величина $C_n$ принимает два дискретных значения $h(B)$ и 
  $-h(B)$ с вероятностью $0,5$ каждое, \mbox{т. е.} 
  \[ P(h)=P(-h)=0,5. \]

  Если в заданной реализации $c(t)$ на $n$-интервале передается 
  информационный символ «1», то $c_n=h(B)$, 
  если передается символ «0», то $c_n=-h(B)$.

  \item В соответствии с сигнальным созвездием модулятора КАМ-16 
  изобразить графики реализаций $i(t)$ и $q(t)$ на выходе 
  блока ФМС, соответствующие входной реализации $c(t)$. 
  Написать аналитические выражения для случайных процессов 
  $I(t)$ и $Q(t)$.
  \[ I(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_n\cdot g_2(t-nT_S);\,
  Q(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_n\cdot g_2(t-nT_S), \]
  где $g_(t)$ -- прямоугольный импульс длительностью 
  $T_S=4T_B$. $T_S$ -- символьный интервал; 
  $T_B$ -- бинарный интервал;
  \[ g_2(t)=\begin{cases}
    1\,В, & 0\leq t \leq T_B;\\
    0\,В, & t<0,\,t>T_B,
  \end{cases} \]
  где $g_2(t-nT_S)$ -- прямоугольный импульс такой же формы, 
  как и $g_2(t)$, но сдвинутый вправо относительно импульса 
  $g_2(t)$ на величину $nT_S$, если $n>0$, или 
  влево, если $n<0$;
  
  $I_n$ и $Q_n$ -- независимые случайные величины, заданные на 
  символьном интервале с номером $n$, 
  которые согласно сигнальному созвездию (рис. \ref{fig:cam_16})
  принимают четыре дискретных значения 
  $-3h,\, -h,\, h,\, 3h$ с вероятностью 0,25 каждое, т. е.
  \[ P(-3h)=P(-h)=P(h)=P(3h)=0,25. \]

  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[x=0.8cm, y=-0.8cm]
      \draw[->, very thick] (0,2) -- (16.2,2);
      \draw[->, very thick] (0,4.2) -- (0,-0.2);

      \node at (-0.5,0) [left] {$3h$};
      \node at (-0.5,1) [left] {$h$};
      \node at (-0.5,2) [left] {$0$};
      \node at (-0.5,3) [left] {$-h$};
      \node at (-0.5,4) [left] {$-3h$};

      \draw (0,4) -- (4,4) -- (4,1);
      \draw (4,1) -- (8,1) -- (8,3);
      \draw (8,3) -- (12,3) -- (12,0);
      \draw (12,0) -- (16,0);
    \end{tikzpicture}
    \caption{График реализации $i(t)$}
  \end{figure}

  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[x=0.8cm, y=-0.8cm]
      \draw[->, very thick] (0,2) -- (16.2,2);
      \draw[->, very thick] (0,4.2) -- (0,-0.2);

      \node at (-0.5,0) [left] {$3h$};
      \node at (-0.5,1) [left] {$h$};
      \node at (-0.5,2) [left] {$0$};
      \node at (-0.5,3) [left] {$-h$};
      \node at (-0.5,4) [left] {$-3h$};

      \draw (0,3) -- (4,3) -- (4,0);
      \draw (4,0) -- (8,0) -- (8,3);
      \draw (8,3) -- (12,3) -- (12,4);
      \draw (12,4) -- (16,4);
    \end{tikzpicture}
    \caption{График реализации $q(t)$}
  \end{figure}

  \item Написать аналитические выражения для корреляционной 
  функции $B_C(\tau)$ и спектральной плотности мощности 
  $G_C(\omega)$ входного случайного процесса $C(t)$ 
  и построить графики этих функций.

  Процесс $C(t)$ является случайным синхронным телеграфным сигналом. Его корреляционная функция имеет вид:
  \[ B_C(\tau)=\begin{cases}
    h^2(1-\frac{|\tau|}{T}),&|\tau|\leq T\\
    0, & |\tau| > T
  \end{cases}, \]
  а спектральная плотность мощности
  \[ G_C(\omega)
  =\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau
  =\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)\cos{\omega\tau}d\tau
  =T\cdot h^2\cdot\frac{\sin^2(\frac{\omega T}{2})}{(\frac{\omega T}{2})^2}, \]
  где $T=T_B$ -- длительность тактового интервала.
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\T}{1.8}
      \pgfmathsetmacro{\h}{1}
      \begin{axis}[
        width=10cm,height=6cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$B_C(\tau)$},
        xlabel = {$\tau$},
      ]
        \addplot [
          color=blue,
          samples=100,
        ]
        {\h^2*(1-abs(x)/\T)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{График корреляционной функции $B_C(\tau)$}
  \end{figure}

  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\T}{1.8}
      \pgfmathsetmacro{\h}{1}
      \begin{axis}[
        width=10cm,height=6cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$G_C(\omega)$},
        xlabel = {$\omega$},
      ]
        \addplot [
          color=blue,
          samples=100,
          domain=-400:400,
        ]
        {\h^2*\T*(sin(x*\T/2)^2)/(x*\T/2)^2};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{График спектральной плотности мощности 
    $G_C(\omega)$}
  \end{figure}

  \item Написать аналитические выражения для 
  корреляционных функций $B_I(\tau)$ и $B_Q(\tau)$, 
  спектральных плотностей мощности $G_I(\omega)$ 
  и $G_Q(\omega)$ случайных процессов $I(t)$ и $Q(t)$. 
  Построить графики этих функций.

  Процессы $I(t)$ и $Q(t)$ будут иметь идентичные друг другу корреляционные функции и спектральные плотности 
  мощности, поскольку они оба отличаются от процесса 
  $C(t)$ лишь длительностью сигнального интервала 
  $T_S=4T_B$.
  \[ B_I(0)=B_Q(0)=D\{I(t)\}=D\{Q(t)\} \]
  \[ G_I(0)=G_Q(0)=\frac{D\{I(t)\}}{T_S}=\frac{D\{Q(t)\}}{T_S} \]
  \begin{align*}\begin{split}
    D\{I(t)\}=D\{Q(t)\}&
    =\sum^4_{n=1}(i_n-\overline{I_n(t)})^2\cdot P(i_n)\\
    &=0,25(-3h)^2+0,25(-h)^2+0,25h^2+0,25(3h)^2=5h^2
  \end{split}\end{align*}
  Корреляционные функции:
  \[ B_I(\tau)=B_Q(\tau)=\begin{cases}
    5h^2(1-\frac{|\tau|}{T_B}), & |\tau|\leq T_B\\
    0, & |\tau| > T_B
  \end{cases} \]
  Энергетический спектр:
  \[ G_I(\omega)=G_Q(\omega)
  =\int^\infty_{-\infty}B_C(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau
  =T\cdot h^2\cdot\frac{\sin^2(\frac{\omega T}{2})}{(\frac{\omega T}{2})^2} \]
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\T}{1.8*4}
      \pgfmathsetmacro{\h}{1}
      \begin{axis}[
        width=10cm,height=6cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$B(\tau)$},
        xlabel = {$\tau$},
      ]
        \addplot [
          color=red,
          samples=100,
        ]
        {5*\h^2*(1-abs(x)/\T)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{График корреляционной функции 
    $B_I(\tau)$, $B_Q(\tau)$}
  \end{figure}

  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\T}{1.8*4}
      \pgfmathsetmacro{\h}{1}
      \begin{axis}[
        width=10cm,height=6cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$G(\omega)$},
        xlabel = {$\omega$},
      ]
        \addplot [
          color=red,
          samples=100,
          domain=-200:200,
        ]
        {\h^2*\T*(sin(x*\T/2)^2)/(x*\T/2)^2};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{График спектральной плотности мощности 
    $G_I(\omega)$, $G_Q(\omega)$}
  \end{figure}

  \item Сравнить графики корреляционных функций и спектральных 
  плотностей мощности сигналов на входе и выходе блока ФМС. 
  Привести краткое описание результатов сравнения и, 
  используя общие положения теории преобразования Фурье, 
  пояснить, почему спектр выходных сигналов уже спектра входного 
  сигнала.

  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\T}{1.8}
      \pgfmathsetmacro{\TB}{1.8*4}
      \pgfmathsetmacro{\h}{1}
      \begin{axis}[
        width=10cm,height=6cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$B(\tau)$},
        xlabel = {$\tau$},
      ]
        \addplot [
          color=blue,
          samples=100,
          domain=-\T:\T,
        ]
        {\h^2*(1-abs(x)/\T)};
        \addlegendentry{$B_C(\tau)$};
        \addplot [
          color=red,
          samples=100,
          domain=-\TB:\TB,
        ]
        {5*\h^2*(1-abs(x)/\TB)};
        \addlegendentry{$B_I(\tau)$, $B_Q(\tau)$};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{Графики корреляционной функции $B_C(\tau)$ и $B_I(\tau)$}
  \end{figure}

  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \pgfmathsetmacro{\T}{1.8}
      \pgfmathsetmacro{\TB}{1.8*4}
      \pgfmathsetmacro{\h}{1}
      \begin{axis}[
        width=10cm,height=6cm,
        axis lines = left,
        ylabel = {$G(\omega)$},
        xlabel = {$\omega$},
      ]
        \addplot [
          color=blue,
          samples=100,
          domain=-300:300,
        ]
        {\h^2*\T*(sin(x*\T/2)^2)/(x*\T/2)^2};
        \addlegendentry{$G_C(\omega)$};
        \addplot [
          color=red,
          samples=100,
          domain=-300:300,
        ]
        {\h^2*\TB*(sin(x*\TB/2)^2)/(x*\TB/2)^2};
        \addlegendentry{$G_I(\omega)$, $G_Q(\omega)$};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{График спектральной плотности мощности 
    $G_C(\omega)$ и $G_I(\omega)$}
  \end{figure}

  Выходной спектр уже, поскольку функция $G(\omega)$ равна
  0 при значениях $\omega = n/T$, а $T_S=4T_B$, поэтому
  изгибы встречаются в 4 раза чаще.
\end{enumerate}

\subsection{Декодер}
По каналу передавался код 
\(\overline{u}=11 10 00 01 10 10 01 11 11...\).
Ошибка произошла на тактовом интервале \(q=3\).
Таким образом, на вход декодера поступает последовательность 
\(\overline{Z}=11 \overset{\times}{0} 0 00 01 10 10 01 11 11...\). Крестиком обозначен ошибочно принятый символ.

\subsubsection{Диаграмма декодера}
\input{decoder}

Наложив полученный путь на решетку кодера, узнаем декодированное слово.
$\overline{m}_{получ}=101111001$

\end{document}