mirror of
https://github.com/anatolykopyl/term-paper-tes.git
synced 2026-03-26 12:54:38 +00:00
Приступил к непрерывному каналу
This commit is contained in:
317
term_paper.tex
317
term_paper.tex
@@ -17,7 +17,7 @@
|
||||
|
||||
\DeclareSymbolFont{T2Aletters}{T2A}{cmr}{m}{it}
|
||||
\graphicspath{ {./images/} }
|
||||
\pgfplotsset{width=10cm,compat=1.9}
|
||||
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||||
|
||||
% Установки для отрисовки решеток кодера
|
||||
\tikzstyle{lightedge}=[dashed]
|
||||
@@ -603,8 +603,10 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
|
||||
блока ФМС, соответствующие входной реализации $c(t)$.
|
||||
Написать аналитические выражения для случайных процессов
|
||||
$I(t)$ и $Q(t)$.
|
||||
\[ I(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_n\cdot g_2(t-nT_S);\,
|
||||
Q(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_n\cdot g_2(t-nT_S), \]
|
||||
\begin{equation} \label{eq:ItQt}
|
||||
I(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_n\cdot g_2(t-nT_S);\,
|
||||
Q(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_n\cdot g_2(t-nT_S),
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $g_(t)$ -- прямоугольный импульс длительностью
|
||||
$T_S=4T_B$. $T_S$ -- символьный интервал;
|
||||
$T_B$ -- бинарный интервал;
|
||||
@@ -870,6 +872,315 @@ $L=2^k$, где $k$ -- целое число.
|
||||
изгибы встречаются в 4 раза чаще.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsection{Модулятор}
|
||||
В состав модулятора структурной схемы цифровой системы связи (ЦСС),
|
||||
рис. \ref{fig:struct_scheme}, между блоками ФМС и перемножителями
|
||||
входят сглаживающие формирующие фильтры СФФ, необходимые для
|
||||
оптимизации ЦСС в отношении межсимвольной помехи, а также инвертор и
|
||||
сумматор, на выходе которого получаем сигнал заданного вида модуляции.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Сглаживающий формирующий фильтр}
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[scale=0.6]{modulator}
|
||||
\caption{Структурная схема модулятора}
|
||||
\label{fig:modulator}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Требуется:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Изобразить структурную схему модулятора в составе ЦСС
|
||||
(рис. \ref{fig:modulator}).
|
||||
|
||||
\item Написать аналитические выражения для сигнала $x(t)$
|
||||
со <<спектром приподнятого косинуса>> (импульса Найквиста)
|
||||
и его спектральной плотности $S_x(f)$ для значений коэффициента
|
||||
сглаживания $0\leq \beta \leq 1$. Изобразить графики сигналов
|
||||
$x(t)$ и соответствующие спектральные плотности
|
||||
при $0\leq \beta \leq 1$.
|
||||
|
||||
Импульсы Найквиста $x(t)$ и их спектральные плотности $S_x(f)$
|
||||
характеризуются следующими аналитическими выражениями:
|
||||
\begin{equation} \label{eq:imp_niq}
|
||||
x(t)=\frac{\sin(\frac{\pi\cdot t}{T})}{\frac{\pi\cdot t}{T}}
|
||||
\cdot\frac{\cos(\frac{\pi\beta t}{T})}{1-\frac{4\beta^2 t^2}{T^2}};
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
S_x(f)=\begin{cases}
|
||||
T, & 0\leq |f|\leq\dfrac{1-f}{2T};\\[10pt]
|
||||
\dfrac{T}{2}\cdot\biggr\{1+\cos\biggr[\dfrac{\pi T}{\beta}
|
||||
\cdot\biggr(|f|-\dfrac{1-\beta}{2T}\biggr)\biggr]\biggr\}, &
|
||||
\biggr(\dfrac{1-f}{2T}\biggr)\leq|f|\leq
|
||||
\biggr(\dfrac{1+f}{2T}\biggr);\\[10pt]
|
||||
0, & |f|>\dfrac{1+f}{2T},
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $\beta$ -- коэффициент сглаживания (или ската), который
|
||||
может принимать значения в интервале $0\leq \beta \leq 1$.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[scale=0.13]{Raised-cosine-impulse}
|
||||
\caption{График импульсов Найквиста $x(t)$}
|
||||
\label{fig:imp_niq}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[scale=0.13]{Raised_cosine_filter}
|
||||
\caption{График спектральных плотностей $S_x(f)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\item На одном рисунке изобразить графики спектральных плотностей
|
||||
$S_x(\omega)$ и $S_{x1}(\omega)$ сигналов $x(t)$ и $x_1(t)$,
|
||||
где $x(t)$ -- импульс Найквиста при коэффициенте сглаживания
|
||||
$\beta=1$; $x_1(t)$ – импульс со спектральной плотностью
|
||||
$S_{x1}(\omega)=\sqrt{S_x(\omega)}$.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\PI}{3.14}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\T}{1.8}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
width=10cm,height=6cm,
|
||||
axis lines = left,
|
||||
ylabel = {$S(\omega)$},
|
||||
xlabel = {$\omega$},
|
||||
domain=-32:32,
|
||||
]
|
||||
\addplot [
|
||||
color=blue,
|
||||
samples=100,
|
||||
]
|
||||
{\T/2*(1+cos(\PI*\T*abs(x)))};
|
||||
\addlegendentry{$S_x(\omega)$};
|
||||
\addplot [
|
||||
color=red,
|
||||
samples=100,
|
||||
]
|
||||
{sqrt(\T/2*(1+cos(\PI*\T*abs(x))))};
|
||||
\addlegendentry{$S_{x1}(\omega)$};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Графики спектральных плотностей
|
||||
$S_x(\omega)$ и $S_{x1}(\omega)$ сигналов $x(t)$ и $x_1(t)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\item На одном рисунке изобразить графики импульсов
|
||||
$x(t)$ и $x_1(t)$.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\PI}{3.14}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\T}{1}
|
||||
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
width=10cm,height=6cm,
|
||||
axis lines = left,
|
||||
ylabel = {$x(t)$},
|
||||
xlabel = {$t$},
|
||||
domain = -2:2,
|
||||
]
|
||||
\addplot [no markers] gnuplot [
|
||||
color=blue,
|
||||
samples=100,
|
||||
]
|
||||
{sin(\PI*x/\T)/\PI/x*\T*cos(\PI*x/\T)/(1-4*x^2/\T^2)};
|
||||
\addlegendentry{$x(t)$};
|
||||
\addplot [no markers] gnuplot [
|
||||
color=red,
|
||||
samples=100,
|
||||
]
|
||||
{sin(\PI*x*1.27/\T)/\PI/x*1.27*\T*cos(\PI*x*1.27/\T)/(1-4*(x*1.27)^2/\T^2)};
|
||||
\addlegendentry{$x_1(t)$};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Импульс Найквиста $x(t)$ и искомый импульс $x_1(t)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\item Написать аналитические выражения для случайных процессов
|
||||
$I_ф(t)$ и $Q_ф(t)$.
|
||||
\[ I_ф(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}I_ng_3(t-nT), \]
|
||||
где $i_n$ -- детерминированная величина, которая является
|
||||
реализацией случайной величины $I_n$.
|
||||
Величины $i_n$ в выражениях для $i(t)$ и $i_ф(t)$
|
||||
принимают одинаковые значения на соответствующих символьных
|
||||
интервалах $T$.
|
||||
|
||||
\[ Q_ф(t)=\sum^\infty_{n=-\infty}Q_ng_3(t-nT), \]
|
||||
где $I_n(t)$ и $Q_n(t)$ -- независимые случайные величины,
|
||||
принимающие известные дискретные значения с заданными
|
||||
вероятностями, какие они имеют в формулах (\ref{eq:ItQt});
|
||||
|
||||
$g_3(t)=x_{1н}(t-3T)$ -- детерминированный импульс,
|
||||
спектральная плотность которого выражается через спектральную
|
||||
плотность импульса Найквиста.
|
||||
|
||||
\item Написать аналитические выражения для корреляционных функций
|
||||
и спектральных плотностей мощности случайных процессов
|
||||
$I_ф(t)$ и $Q_ф(t)$ и построить графики этих функций.
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_{I_ф}(\tau)=\frac{\overline{I_n^2}}{1,27^2}\cdot x(\tau),
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $\overline{I^2_n}=5h^2$ для КАМ-16;
|
||||
|
||||
$x(\tau)$ -- импульс Найквиста при значении $\beta=1$.
|
||||
|
||||
Так как случайный процесс $Q_ф(t)$ на выходе нижнего сглаживающего
|
||||
формирующего фильтра (СФФ) имеет такие же вероятностные
|
||||
характеристики, как и процесс $I_ф(t)$, то можно написать
|
||||
следующие равенства:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_{Q_ф}(\tau)=B_{I_ф}(\tau);\,
|
||||
G_{Q_ф}(\omega)=G_{I_ф}(\omega).
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\PI}{3.14}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\T}{1}
|
||||
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
width=10cm,height=6cm,
|
||||
axis lines = left,
|
||||
ylabel = {$B(\tau)$},
|
||||
xlabel = {$\tau$},
|
||||
domain = -2:2,
|
||||
]
|
||||
\addplot [no markers] gnuplot [
|
||||
color=blue,
|
||||
samples=100,
|
||||
]
|
||||
{sin(\PI*x/\T)/\PI/x*\T*cos(\PI*x/\T)/(1-4*x^2/\T^2)};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{График корреляционных функций
|
||||
$B_{I_ф}(\tau)$ и $B_{Q_ф}(\tau)$
|
||||
случайных процессов $I_ф(t)$ и $Q_ф(t)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
G_{I_ф}(\omega)=\begin{cases}
|
||||
\dfrac{\overline{I^2_n}}{1,27^2}\cdot\dfrac T2
|
||||
\biggr[1+\cos\biggr(\omega\dfrac T2\biggr)\biggr],
|
||||
&|\omega|\leq \dfrac{2\pi}{T};\\[14pt]
|
||||
0, & |\omega|>\dfrac{2\pi}{T}.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\PI}{3.14}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\T}{1.8}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
width=10cm,height=6cm,
|
||||
axis lines = left,
|
||||
ylabel = {$S(\omega)$},
|
||||
xlabel = {$\omega$},
|
||||
domain=-32:32,
|
||||
]
|
||||
\addplot [
|
||||
color=blue,
|
||||
samples=100,
|
||||
]
|
||||
{\T/2*(1+cos(\PI*\T*abs(x)))};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{График спектральных плотностей мощности
|
||||
$G_{I_ф}(\omega)$ и $G_{Q_ф}(\omega)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Блоки перемножителей, инвертор, сумматор}
|
||||
Требуется:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Написать аналитические выражения для корреляционных функций
|
||||
$B_{I_ф\cos}(\tau)$ и $B_{Q_ф\sin}(\tau)$ случайных сигналов
|
||||
$I_ф(t)\cdot\cos(\omega_Ct+\varphi_C)$ и
|
||||
$Q_ф(t)\cdot\sin(\omega_Ct+\varphi_C)$ на выходах перемножителей,
|
||||
где $\varphi_C$ -- случайная фаза с равномерной плотностью
|
||||
вероятности на интервале $0...2\pi$.
|
||||
Случайная фаза $\varphi_C$ не зависит от случайных процессов
|
||||
$I_ф(t)$ и $Q_ф(t)$.
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_{I_ф\cos}(\tau)=B_{Q_ф\sin}(\tau)=\frac 12B_{I_ф}(\tau)\cdot\cos\omega_c\tau,
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $\tau=(t_2-t_1)$.
|
||||
|
||||
\item Написать аналитические выражения для корреляционных
|
||||
функций $B_S(\tau)=B_{I_ф}(\tau)\cdot\cos\omega_C\tau
|
||||
=B_{Q_ф}(\tau)\cdot\cos\omega_C\tau$ и для спектральной
|
||||
плотности мощности $G_S(\omega)$ сигнала $S(t)$ на
|
||||
выходе сумматора. Построить графики этих функций.
|
||||
\begin{equation} \label{eq:BSTau}
|
||||
B_S(\tau)=\overline{I^2_n}\cdot\frac{1}{1,27^2}\cdot x(\tau)
|
||||
\cdot\cos\omega_C\tau,
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $x(\tau)$ -- импульс Найквиста, определяемый
|
||||
(\ref{eq:imp_niq}) при $\beta=1$ (рис. \ref{fig:imp_niq});
|
||||
|
||||
$\overline{I^2_n}=5h^2$ для КАМ-16.
|
||||
|
||||
Спектральная плотность мощности $G_S(\omega)$ случайного сигнала
|
||||
$S(t)$ в соответствии с теоремой Винера -- Хинчина определяется
|
||||
через преобразование Фурье корреляционной функции $B_S(\tau)$.
|
||||
Используя (\ref{eq:BSTau}), получим:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
G_S(\omega)&=\int^\infty_{-\infty}B_{I_ф\cos}(\tau)
|
||||
\cdot e^{-i\omega\tau}d\tau
|
||||
=\overline{I^2_n}\cdot\frac{1}{1,27^2}
|
||||
\int^\infty_{-\infty}x(\tau)\cdot\cos\omega_C\tau
|
||||
\cdot e^{-i\omega\tau}d\tau\\
|
||||
&=\frac 12 \cdot \frac{\overline{I^2_n}}{1,27^2}
|
||||
[S_x(\omega-\omega_C)+S_x(\omega+\omega_C)],
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Учитывая, что функция $S_x(\omega)$ импульса Найквиста $x(t)$
|
||||
при значении $\beta=1$ и $f=\frac{\omega}{2\pi}$ равна
|
||||
\begin{equation}
|
||||
S_x(\omega)=\begin{cases}
|
||||
\dfrac T2\biggr(1+\cos\dfrac T2\omega\biggr),
|
||||
& |\omega|\leq\dfrac{2\pi}{T};\\[10pt]
|
||||
0, & |\omega|>\dfrac{2\pi}{T}.
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Спектральная плотность $G_S(\omega)$ на выходе сумматора будет
|
||||
равна удвоенной спектральной плотности $G_{I_ф\cos}(\omega)$.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics{BSTau}
|
||||
\caption{График корреляционной функции $B_S(\tau)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics{GSOmega}
|
||||
\caption{Спектральные плотности мощности $G_S(\omega)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsection{Непрерывный канал}
|
||||
Передача сигнала $S(t)$ происходит по непрерывному неискажающему
|
||||
каналу с постоянными параметрами в присутствии аддитивной помехи
|
||||
$n(t)$ типа гауссовского белого шума. Сигнал $Z(t)$ на выходе такого
|
||||
канала имеет вид
|
||||
\begin{equation}
|
||||
Z(t)=\mu\cdot S(t)+n(t),
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $\mu=1$ -- коэффициент передачи канала.
|
||||
|
||||
Односторонняя спектральная плотность мощности помехи $n(t)$
|
||||
равна $N_0=2,3\cdot 10^{-7}\,В^2/Гц$.
|
||||
|
||||
Требуется:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsection{Декодер}
|
||||
По каналу передавался код
|
||||
\(\overline{u}=11 10 00 01 10 10 01 11 11...\).
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user